알아두면 유용한 명제와 정의에 관한 용어들

Computer Theory에 관련한 논문들을 읽어보다가, 여러 생소한 용어들이 눈에 보이기에 정리를 해봅니다.  왜 논문 보면 간혹 lemma 1. proposition 이런 단어들이 눈에 뜨이지요? 이러한 용어가 무엇을 뜻하는지 모르고  그냥 넘어갔는지는 않았는지요?

알아두면 논문을 이해하거나 자신의 이론을 풀어 쓰는데에 유용하겠지요.

1) Axiom- 공리(公理): (이론의 기초로서 가정한 명제)

 하나의 이론에서 증명 없이 바르다고 하는 명제, 즉 조건 없이 전제된 명제, 논리학에서는 무증명명제(無證明命題)라고도 한다.

 

2) definition - 정의(定義): (기호(記號)에 대하여 그 수학적 의미를 규정한 것)

 즉, 논의의 대상을 보편적인 것으로 하기 위해, 사용되는 용어 또는 기호의 의미를 확실하게 규정한 문장이나 식(式)을 그 용어의 정의라고 한다. 이를테면, ‘한 내각의 크기가 직각인 삼각형을 직각삼각형이라 한다’는 직각삼각형의 정의이다.

3) theorem - 정리 (수학적으로 참인 명제 )  

즉, 공리(公理)와 정의(定義)로부터 증명(證明)에 의해 정리가 유도되며, 이미 증명된 이들 정리와 공리 또는 정의를 추론(推論)의 근거로 하여 다음 정리가 옳다는 것을 확인한다. 증명된 정리는 그 체계의 토대로서는 바른 것(참인 것)이지만 보편적인 것은 아니다. 이를테면, 유클리드기하학에서는 ‘삼각형의 내각의 합은 2직각이다’가 정리로서 성립되지만, 비유클리드기하학의 하나인 로바체프스키의 기하학에서는 ‘삼각형의 내각의 합은 2직각보다 작다’는 것이 성립되며, 리만기하학에서는 ‘삼각형의 내각의 합은 2직각보다 크다’는 것이 성립한다.

즉, 정리는 일군(一群)의 공리계(公理系)를 기초로 한, 하나의 체계에 대해서만 성립한다. 어떤 정리에서 직접 유도된 것을 그 정리의 계(系)라고 한다. 예컨대, 그 정리가 특별한 경우로서 성립하는 때도 그 정리의 계가 된다. 또, 한 체계 중에서 공리 ·정의 이외의 명제는 모두 정리이지만, 특히 그 중의 중요한 것만 가리켜 정리라고 하는 경우도 있다. 그리고 유명한 것에는 고유의 이름을 취한 것도 있다. 예를 들면, 인명을 붙인 피타고라스의 정리, 파스칼의 정리, 메넬라우스의 정리 등과 내용에서 이름을 딴 삼수선(三垂線)의 정리, 대수학의 기본정리, 미적분학의 평균값정리 등이 있다. 일반적으로 정리는 P and Q and… → R and S and…와 같은 꼴로 기술되며, P and Q and…를 이 정리의 가설 또는 가정, R and S and…를 종결 또는 결론이라고 한다.

  4) lemma - 보조정리 (어떤 정리를 증명하는 데 쓸 목적으로 증명된 명제)

   보제(補題)라고도 한다. 예를 들면 ‘sin x의 도함수는 cos x이다’라는 정리를 보통의 방법으로 증명할 때 사용되는 0＜x＜π/2이면 sin x＜x＜tan x,

등은 보조정리라 할 수 있다.

보통 보조정리는 한 정리를 증명하기 위하여 사용되지만 경우에 따라 다른 많은 증명에 사용되기도 한다. 그런 경우 그와 같은 보조정리도 정리라 할 수 있으나, 그대로 보조정리라는 이름으로 이용된다. 유명한 것으로는 ‘졸레의 보조정리’, 함수론의 ‘슈바르츠의 보조정리’ 등이 있다. df

5) corollary- 따름 정리 :  수학용어로서 정리에서 직접 파생된 명제, 계(系)라고도 한다.

 1개의 정리에서 바로 유도되는 사실로서 이용가치가 많은 것을 명제의 꼴로 나타낸 것을 원래의 정리의 따름정리 또는 계라 한다.

6) proposition -명제(命題) : (전통적 논리학에서 판단을 언어로 표현한 것)

  예컨대 ‘개는 동물이다’는 명제이다. 현대 논리학에서는 진위(眞僞)를 물어보는 뜻이 담긴 글을 명제문(命題文)이라 한다. 유명론적(唯名論的) 경향이 있는 철학자 중에는 언어 표현 그 자체와는 다른 독립된 의미의 존재를 인정하는 데 회의적인 사람도 있다. 일상어로 쓰인 글에는 언어의 사용 방법이 양의적(兩義的)이기 때문에 명제문인지 아닌지 문제가 되고, 명제문이라 하더라도 그 내용이 확실하지 않은 경우가 있다. 그러나 논리기호(論理記號)로 쓴 글은 이러한 점에서 애매한 것이 전혀 없다. 이것을 명제식(命題式)이라고 한다. 진리(眞理)임을 강조하는 글을 명제라고 할 때도 있다

7) proof - 증명(證明)

 p이면 q이다’라는 합성명제(合成命題)에서 명제 p를 전제(가설 또는 가정), 명제 q를 결론(종결)이라 하고, 참(truthfullness)인 전제에서 유효한 추론(推論)에 의해 결론을 이끌어내는 것을 증명이라고 한다. 여기서 유효한 추론이란 전제가 참이면 결론도 참인 추론을 말한다. 증명의 대부분은, p → r → q, p → r → s → q 와 같이 전제에서 출발하여 유효한 추론에 따라 연역(演繹)해 나가는 것이 보통이다. 이와 같은 증명을 직접증명이라고 한다. 이를테면, ‘a,b가 수일 때, a=b이면 a²=b²이다’의 경우, 전제 p는 a=b, 결론 q는 a²=b²이며, 증명은 다음과 같이 이루어진다. a=b → a=b, a=b → aa=bb → a²=b² 또, 다음과 같이 증명해도 무방하다. a=b → a－b=0 → (a－b)(a＋b)=0 → a²－b²=0 → a²=b²

위의 직접증명에 대해, 합성명제 ‘p이면 q이다’(보통 조건명제 또는 간단히 조건이라고 한다)가 참임을 증명하는 데, 이와 동치인 합성명제 ‘∼q → ∼p이다’가 참임을 증명하는 간접증명이 있다. 여기에는 귀류법과 전환법(轉換法) 등이 있다

8) theory - 이론(理論) :  사물에 관한 지식을 논리적인 연관에 의하여 하나의 체계로 이루어 놓은 것

 

 학문이라면 거기에는 반드시 이론이 있다. 일단 이론이 형성되면 그 이론의 논리적인 결론을 끌어냄으로써 미지(未知)의 영역에 관해서도 효과있는 예상을 하는 경우가 흔히 있다. 그러나 사물에 관한 새로운 지식으로 인하여 이론 적용에 한계가 생기는 수가 있다. 이런 경우 이론에 구애되어 사실을 무시하는 일이 허다하나 이것은 큰 잘못이다.

이론 중에서 근본적인 전제가 있는 것, 또는 자료(資料)에 관한 보고 사항 중에서 그대로 인정해야 할 것은 공리(公理)가 된다. 다음의 명제는 공리로부터 연역(演繹)되는 정리(定理)가 된다. 이와 같은 논리적인 연결을 철저히 정리하면 공리론(公理論)을 얻게 된다. 여기서 이를 논리기호(論理記號)로 표시하면 형식화(形式化)된 이론이 형성된다.

여기까지 정리하면 동일한 이론이 전혀 다른 복수의 사상(事象)에 적용될 수도 있다는 것이 분명해지는 경우가 있다. 이론이 적용되는 현상(現象) 또는 그 구조를 논리학이나 수학에서는 그 이론의 모델이라고 한다. 그러나 경험과학(經驗科學)에서는 이와는 반대로 하나의 현상을 설명하는 이론을 그 현상의 모델이라고 할 때가 많다. 학문 연구 과정에서 논리적 전개에 치중하는 것을 이론면(理論面), 사상(事象)과의 대결에 치중하는 것을 실험면(實驗面)에 관한 연구라 하여 구별한다